毕达哥拉斯的无理数
关于一个故事的误解
关于毕达哥拉斯有一个故事, 说的是, 毕达哥拉斯认为数是实体, 是世界的基本原素, 因此无理数是不存在的. 但是他的一个学生问他, 如果无理数是不存在的, 那么正方形的对角线是多长. 毕达哥拉斯因此把这个学生扔进海里去了.
我一直用这个故事来说明毕达哥拉斯学派的过度理想主义.
但后来从翻电中听小李老师说, 其实毕达哥拉斯把他的学生扔海里并不是因为他不承认无理数的存在, 而是因为他认为研究无理数 "渎神".
开始也并没有觉得这个论点有什么特殊,直到看了亚里士多德的《形而上学》才真正理解到为什么研究无理数是 "渎神" 的.
故事本身
希帕索斯, 生活于大约公无前 500 年, 生卒年不详, 属于毕达哥拉斯学派门生.
公元前 5 世纪左右, 毕达哥拉斯学认为, "万物皆数", 世界上只有整数和分数 ( 有理数 ). 而希帕索斯却发现了令人震惊的 "无限循环小数", 即无理数. 令该学派感到恐慌, 并引发了第一次数学危机. 有传言说希帕斯被自己的老师毕达哥拉斯判决淹死. 也有说法是被学派门人丢到海里淹死.
---- 维基百科 · 希帕索斯
亚里士多德在《形而上学》中对于无理数讨论
可是, 在某一含义上, 修习这一门学术的结果恰与我们上述探索相反. 所有的人都从对万象的惊异为开端, 如傀儡自行, 如冬至于夏至, 如 "正方形的对角线不能用边来计量." 等; 说是世上有一事物, 即便引用最小的单位还是不能加以计量, 这对于所有未明其故的人正是可惊异的. 然而实际恰正相反, 这对于所有 "再思而得", 人能明事物之故, 而后不为事物所惑; 对于一个几何学者, 如果对角线成为可计量的, 那才是世间怪事.
---- 亚里士多德 《形而上学 · 第一卷 · 章二》
从 "平方" 来说为什么 "万物皆数"
2 乘以 2 称为 2 的平方, 3 乘以 3 称为 3 的平方. 那平方为什么叫做 "平方" 呢?
平方的意思为, 假如一个数为一个点的话, 那么 4 或 9 在一个平面上正好可以构成一个正形. 在毕达哥拉斯学派中, 这种可以构成一个正方形的数都叫做 "方数".
同理, 可以构成一个三角形的数, 他们称为 "角数", 如 3.
也即是说, 毕达哥拉斯学派认为, 数不是一个抽象的概念, 而是实存的东西, 而这世界就是由这样实存的数构成: 也既世界是 "点积" 的, 其中的 "点" 就是 "数".
无理数何以无理
无理数的 "无理", 并不是这个数是 "没有道理的", 而是这个数是 "无法理解的".
让我们回到 "正方形的对角线不能用边来计量" 上. 如果正方形的边是由 "点积累而成的", 那么我们无论如何切分构成正方形的边, 以得到构成其的点, 都无法使这些点正好构成正方式的对角线.
在这个意义上, 正方形的对角线是无法理解的: 我们无法用己知的东西去计量它.
神的学术
亚里士多德之所以要说无理数的事, 是因为他要做以下论证:
- 哲学是最高的学问;
- 哲学之所以是最高的学问, 是因为哲学研究的知识是神的知识;
- 所谓 "神的知识" 是指 "这门学术是神所独有; 或神能超乎人类而所知独多" 的知识;
- 比如正方形对角线既是如此.
无理数之无理, 只是对于我们无理而己, 但对于神来说, 这个数一定是可以理解的. 因为正方形的对角线与其边一定是有一个固定关系的, 只是我们不知道该怎么计量它, 而这个知识神一定知道, 因为神能创造正方形一定知道正方形的一切知识.
这就是所谓的 "这门学术是神所独有; 或神能超乎人为而所知独多".
研究无理数为什么 "渎神"
亚里士多德说, 人之所以要研究哲学, 是因为惊异. "一个有所迷惑与惊异的人, 每自愧愚蠢... 他们探索哲理是为了脱出愚蠢" .
紧接着他说: "要获得这样的知识也许超乎人类的能力." 因为 "这样一门学术或则是神独有, 或则是神能超乎人类而所知独多". 比如正方形的对角线.
因此, "在某一含义上, 修习这一门学术的结果恰与我们上述探索相反." 求知是为了通过思考惊异之事而知其原因, 从而 "不为事物所惑". 而当一个事物, 我们引用最小的单们学是不能加以计量, 这种确凿的惊异, 正是数学的神性.
神性, 在人理性的边界显现出来.
而当我们一定要把无理数拿出来研究, 让其可以理解, 其实是将数学的神性拿掉. 就如, 至今我们也没有能穷尽根号 2 是多少, 我们仅仅是不以世间竟然有一个数是如根号 2 一样无法穷尽而惊异罢了.
在这个意义上, 研究无理数是 "渎神" 的.